Սահմանում:
-Պարզ փակ բեկյալով ու դրանով սահմանափակված հարթության մասով կազմված երկրաչափական պատկերը կոչվում է բազմանկյուն:
📐 Բազմանկյան օրինակ
Բազմանկյան պարագիծը:
P = a + b + c + ... + n
որտեղ a, b, c, ..., n -կողմերի երկարությունները
Առաջադրանքի օրինակ:
Հաշվեք հետևյալ բազմանկյան պարագիծը, եթե կողմերի երկարությունները 5 սմ, 7 սմ, 6 սմ, 8 սմ և 4 սմ են։ Պատասխան: P = 5 + 7 + 6 + 8 + 4 = 30 սմ
1.2 Ուռուցիկ բազմանկյուն
Սահմանում:
-Բազմանկյունը, որն ընկած է իր հարևան գագաթներով անցնող ցանկացած ուղղղի մի կողմում, կոչվում է ուռուցիկ բազմանկյուն:
Սահմանում:
-Քառանկյունը չորս կողմ ունեցող բազմանկյուն է։ Քառանկյունների տեսակները՝ ուղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի և այլն։
📐 Քառանկյուն
2.1 Զուգահեռագծի հատկությունները
Սահմանում:
-Զուգահեռագիծը կոչվում է քառանկյուն, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են: Զուգահեռագծի հատկությունները՝
-Հանդիպակաց կողմերը հավասար են։
-Հանդիպակաց անկյունները հավասար են։
-Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատման կետով կիսվում:
📐 Զուգահեռագիծ
Զուգահեռագծի հատկությունները:
-Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են: Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են:
-Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատման կետով կիսվում:
2.2 Զուգահեռագծի հայտանիշները
Սահմանում: Զուգահեռագծի հայտանիշները՝
-Եթե քառանկյան երկու կողմերը զուգահեռ և հավասար են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
-Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
-Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում են և հատման կետով կիսվում են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Պատասխան: Այո, դա զուգահեռագծի հայտանիշ է
3.1 Ուղղանկյուն
Սահմանում:
-Զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, կոչվում է ուղղանկյուն: Զուգահեռագծի հատկությունները՝
-ուղանկյան անկյունագծերը հավասար են։
-Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա այդ զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
📐 Ուղղանկյուն
Թեորեմներ:
-Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են:
-Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա այդ զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:
Առաջադրանքի օրինակ:
Ուղղանկյունի կողմերը 4 սմ և 6 սմ են։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 4 × 6 = 24 սմ²
3.2 Շեղանկյուն և քառակուսի
Սահմանում:
-Զուգահեռագիծը, որի կողմերը հավասար են, կոչվում է շեղանկյուն, Շեղանկյան հատկությունները՝
-Շեղանկյան անկյունագծերը փողուղահայաց են և կիսվում են շեղանկյան անկյունները։ Քառակուսիի սահմանումը՝
-ՈՒղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, կոչվում է քառակուսի։
📐 Շեղանկյուն և քառակուսի
Առաջադրանքի օրինակ:
Քառակուսու կողմը 5 սմ է։ Հաշվեք պարագիծը և մակերեսը։ Պատասխան: P = 20 սմ, S = 25 սմ²
4.1 Թալեսի թեորեմը
Սահմանում:
-Եթե երկու ուղիղներից մեկի վրա հաջորդաբար տեղադրված են մի քանի հավասար հատվածներ և դրանց ծայրակետերով տարված են երկրորդ ուղիղը հատող զուգահեռ ուղիղներ, ապա երկրորդ ուղղի վրա անջատվում են իրար հավասար հատվածներ։
📐 Թալեսի թեորեմ
Առաջադրանքի օրինակ:
AB = BC => A1B1 = B1C1
4.2 Եռանկյան միջին գիծը
Սահմանում:
-Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ:
📐 Եռանկյան միջին գիծ
Թեորեմ:
–Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է դրա կողմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի կեսին:
Առաջադրանքի օրինակ:
Եռանկյունի հիմքը 10 սմ է։ Հաշվեք միջին գծի երկարությունը։ Պատասխան: 5 սմ
4.3 Սեղան
Սահմանում:
-Քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն, կոչվում է սեղան:
-Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են սեղանի հիմքեր, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ կողմնային կողմեր:
-Սեղանի կողմնային կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է սեղանի միջին գիծ:
📐 Սեղան
Թեորեմներ:
–Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին:
Առաջադրանքի օրինակ:
Սեղանի կողմերը 5 սմ և 7 սմ են։ Հաշվեք պարագիծը։ Պատասխան: P = 2 × (5 + 7) = 24 սմ
5.1 Հավասարասրուն և ուղղանկյուն սեղաններ
Սահմանում:
-Հավասար կողմնային կողմերով սեղանը կոչվում է հավասարասրուն սեղան, իսկ հավասար կողմնային կողմերը՝ սեղանի սրունքներ:
-Ուղիղ անկյուն ունեցող սեղանը կոչվում է ուղղանկյուն սեղան:
📐 Հավասարասրուն սեղան
Թեորեմներ:
–Հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են, անկյունագծերը հավասար են:
–Եթե սեղանի հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են, ապա այն հավասարասրուն սեղան է:
–Եթե սեղանի անկյունագծերը հավասար են, ապա այն հավասարասրուն սեղան է:
Առաջադրանքի օրինակ:
Հավասարասրուն սեղանի կողմերը 6 սմ և 8 սմ են։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 6 × 8 × sin90° = 48 սմ² (եթե ուղղանկյուն)
5.2 Առանցքային և կենտրոնային համաչափություններ
Սահմանում:
-A և A1 կետերը կոչվում են համաչափ a ուղղի նկատմամբ, եթե a ուղիղը AA1 հատվածի միջնուղղահայացն է:
-Պատկերը, որի ամեն մի կետի համաչափը a ուղղի նկատմամբ ևս պատկանում է այդ պատկերին, կոչվում է a ուղղի նկատմամբ համաչափ պատկեր: a ուղիղը կոչվում է այդ պատկերին համաչափության առանցք:
-Պատկերը, որի ամեն մի կետի համաչափը a ուղղի նկատմամբ ևս պատկանում է այդ պատկերին, կոչվում է a ուղղի նկատմամբ համաչափ պատկեր: a ուղիղը կոչվում է այդ պատկերին համաչափության առանցք:
-A և A1 կետերը կոչվում են համաչափ Օ կետի նկատմամբ, եթե Օ կետը AA1 հատվածի միջնակետն է:
Պատկերը, որի ամեն մի կետի համաչափը Օ կետի նկատմամբ ևս պատկանում է այդ պատկերին, կոչվում է Օ կետի նկատմամբ համաչափ պատկեր: Օ կետը կոչվում է այդ պատկերին համաչափության կենտրոն:
📐 Համաչափություն
Առաջադրանքի օրինակ:
Եռանկյունը համաչափեցված է 2 անգամ։ Հաշվեք նոր մակերեսը, եթե հինը 10 սմ² էր։ Պատասխան: S = 10 × 4 = 40 սմ²
6.1 Բազմանկյան մակերես հասկացությունը
Սահմանում:
-Բազմանկյան մակերեսը բազմանկյունի կողմերի միջև ընկած տարածքի չափն է։
📐 Բազմանկյան մակերես
Առաջադրանքի օրինակ:
Բազմանկյունի մակերեսը հաշվարկվում է ըստ բանաձևերի կախված տեսակից։ Պատասխան: Օրինակ՝ քառանկյունի համար S = a × b
6.2 Քառակուսու մակերեսը
Սահմանում:
-Քառակուսու մակերեսը հավասար է կողմի քառակուսուն։
📐 Քառակուսի մակերես
Քառակուսու մակերեսը:
S = a²
Առաջադրանքի օրինակ:
Քառակուսու կողմը 4 սմ է։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 16 սմ²
7.1 Ուղղանկյունի մակերեսը
Սահմանում:
-Ուղղանկյունի մակերեսը հավասար է կից կողմերի արտադրյալին։
📐 Ուղղանկյունի մակերես
Ուղղանկյունի մակերեսը:
S = a × b
Առաջադրանքի օրինակ:
Ուղղանկյունի կողմերը 5 սմ և 3 սմ են։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 15 սմ²
7.2 Զուգահեռագծի մակերեսը
Սահմանում:
-Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալին։
📐 Զուգահեռագծի մակերես
Զուգահեռագծի մակերեսը:
S = a × h
Առաջադրանքի օրինակ:
Զուգահեռագծի հիմքը 8 սմ, բարձրությունը 4 սմ։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 32 սմ²
8.1 Եռանկյան մակերեսը
Սահմանում:
-Եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին։ Եռանկյան մակերեսի թեորեմի հետևանքը՝
-ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է դրա էջերի արտադրյալի կեսին։
📐 Եռանկյան մակերես
Եռանկյան մակերեսը:
S = a × h / 2
Առաջադրանքի օրինակ:
Եռանկյան հիմքը 10 սմ է, բարձրությունը 6 սմ։ Հաշվեք մակերեսը. Պատասխան: S = ½ × 10 × 6 = 30 սմ²
8.2 Եռանկյան կիսորդի հատկությունը
Սահմանում:
-Եռանկյան անկյան կիսորդը դիմացի կողմը բաժանում է հատվածների, որոնց հարաբերությունը հավասար է կից կողմերի հարաբերությանը։
📐 Կիսորդ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե եռանկյան երկու կողմերից մեկը 8 սմ է, մյուսը 6 սմ, ապա կիսորդը բաժանելո՞ւմ է երրորդ կողմը։ Պատասխան: Այո, ըստ հատկության բաժանումը կլինի 8:6 հարաբերությամբ
9.1 Շեղանկյան մակերեսը
Սահմանում:
-Շեղանկյան մակերեսը հավասար է դրա անկյունագծերի արտադրյալի կեսին։
📐 Շեղանկյան մակերես
Առաջադրանքի օրինակ:
Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, բարձրությունը 4 սմ։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 6 × 4 = 24 սմ²
9.2 Սեղանի մակերեսը
Սահմանում:
-Սեղանի հիմքերից մեկի որևէ կետից մյուս հիմքն ընգրկող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է սեղանի բարձրությունը։ Սեղանի մակերեսը՝
-Սեղանի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի կիսագումարի և բարձրության արտադրյալին՝։
S = (a + b) × h / 2 Սեղանի մակերեսի թեորեմի հետևանքը՝
-Սեղանի մակերեսը հավասար է դրա միջին գծի ու բարձրության արտադրյալին՝ S = m × h
📐 Սեղանի մակերես
Առաջադրանքի օրինակ:
Սեղանի կողմերը 5 սմ և 7 սմ են։ Հաշվեք մակերեսը։ Պատասխան: S = 35 սմ²
10.1 Պյութագորասի թեորեմը
Սահմանում:
-Ուղղանկյան եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին` a² + b² = c²
Եթե հավասարակողմ է՝
S = √3 × a² / 4։
📐 Պյութագորաս
Պյութագորասի թեորեմը:
a² + b² = c²
Առաջադրանքի օրինակ:
Ուղղանկյան եռանկյան մի կողմը 3 սմ է, մյուսը 4 սմ։ Հաշվեք հիպոթենուզը։ Պատասխան: c = 5 սմ
10.2 Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը
Սահմանում:
-Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է։
📐 Հակադարձ Պյութագորաս
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե կողմերը 5, 12 և 13 են, արդյոք եռանկյունը ուղղանկյուն է։ Պատասխան: Այո, որովհետև 5² + 12² = 13²
11.1 Համեմատական հատվածներ
Սահմանում:
-a և b հատվածները կոչվում են համեմատական c և d հատվածներին, եթե a/b = c/d :
📐 Համեմատական հատվածներ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե օրինաչափ կերպով եռանկյունների կողմերը 3:6 հարաբերությամբ են, ապա մյուս առնվազն մի կողմի հարաբերությունը ինչ է։ Պատասխան: 1:2
11.2 Թալեսի ընդհանրացված թեորեմը
📐 Թալեսի ընդհանրացված
Թեորեմ:
-Եթե երկու ուղիղներից մեկի վրա հաջորդաբար տեղադրված է մի քանի հատված, և դրանց ծայրակետերով տարված են երկրորդ ուղիղը հատող զուգահեռ ուղիղներ ապա երկրորդ ուղղւ վրա կանջատվեն տրվածներին համեմատական հատվածներ։
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե մի հատված բաժանված է 2:3 հարաբերությամբ, ապա մյուս համապատասխան հատվածը պետք է լինի ինչ հարաբերությամբ։ Պատասխան: 2:3
11.3 Նման եռանկյունների սահմանումը
Սահմանում:
-Երկու եռանկյունները կոչվում են նման, եթե նրանց անկյունները հավասար են և նմանակ կողմերի համեմատական են։
-Նման եռանկյունների նմանակ կողմերի հարաբերությունը կոչվում է նմանության գործակից և նշանակվում ՝ k տառով:
📐 Նման եռանկյուններ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե երկու եռանկյունների անկյունները հավասար են, ապա արդյոք նրանք նման են։ Պատասխան: Այո, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են, դրանք նման են
12.1 Եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշը
Թեորեմ:
-Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին, ապա այդ եռանկյունները նման են։
📐 1-ին հայտանիշ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե երկու եռանկյունների երկու անկյունները հավասար են, արդյոք նրանք նման են։ Պատասխան: Այո, սա առաջին հայտանիշն է
12.2 Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը
Թեորեմ:
-Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին, և այդ կողմերով անկյունները հավասար են, ապա այդ եռանկյունները նման են։
📐 2-րդ հայտանիշ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե երկու եռանկյունների համապատասխան կողմերի հարաբերությունները համընկնում են, ապա դրանք կարելի է համարել՞ նման։ Պատասխան: Այո, եթե նաև ոՒղղանկյունները համապատասխան են
12.3 Եռանկյունների նմանության երրորդ հայտանիշը
Թեորեմ:
-Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուսի երեք կողմերին, ապա այդ եռանկյունները նման են։
մ
📐 3-րդ հայտանիշ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե եռանկյունների կողմերի համեմատությունը 2:3 է բոլոր համապատասխան կողմերի համար, ապա արդյոք դրանք նման են։ Պատասխան: Այո, դրանք նման են
13.1 Նման եռանկյունների գծային տարրերի հարաբերությունը
Թեորեմ:
-Երկու նման եռանկյունների պարագծերի հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակիցին։
-Երկու նման եռանկյունների նմանակ կողմերին տարված միջնագծերի հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակիցին։
-Երկու նման եռանկյունների հավասար անկյունների կիսորդների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակիցին։
-Երկու նման եռանկյունների նմանակ կողմերին տարված բարձրությունների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակիցին։
📐 Գծային համամասնություն
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե մեկ եռանկյան կողմը 4 է, մյուսը 6 է, ապա նմանությամբ մյուսի համապատասխան կողմը ինչ կլինի՝ հարաբերությամբ։ Պատասխան: 2:3
13.2 Նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը
Թեորեմ:
-Նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակիցի քառակուսուն։
📐 Մակերեսների հարաբերությունը
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե կողմերի հարաբերությունը 2:3 է, ապա մակերեսների հարաբերությունը ինչն է։ Պատասխան: 4:9
14.1 Եռանկյան միջնագծերի հատկությունները
Թեորեմ:
-Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որն ամեն մի միջնագիծ վրա բաժանում 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշված գագաթից։
📐 Միջնագիծ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եռանկյան կողմը 12 սմ է։ Հաշվեք համապատասխան միջնագծի երկարությունը։ Պատասխան: 6 սմ
14.2 Համեմատական հատվածներն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ
Սահմանում:
c հատվածը կոչվում է a և b հատվածների համեմատական միջին կամ երկրաչափական միջին եթե`
c2 = a * b
📐 Համեմատական հատվածներ
Թեորեմ:
-Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը եռանկյունը բաժանում է երկու նման եռանկյունների, որոնցից ամեն մեկը նման է տրված եռանկյանը։
Առաջադրանքի օրինակ:
Ուղղանկյան եռանկյան մեջ կնելով միջանկյալ դրոշմամբ հատվածները համեմատական են։ Պատասխան: Այո, նրանք հավասար հարաբերությամբ են
14.3 Առարկայի բարձրության, անմատչելի կետի հեռավորության որոշումը
Սահմանում:
-Ուղղանկյուն եռանկյանը և համեմատականությունը օգնում են որոշել վերին կամ ստորին կետի բարձրությունը և հեռավորությունը։
📐 Ժամանակակից չափում
Առաջադրանքի օրինակ:
Սյունը 12 մ առջևի կետից հեռավորության վրա է և բարձրությունը պետք է գտնել, եթե ստացվում է եռանկյուն 5-12-13 հարաբերությամբ։ Պատասխան: Բարձրությունը 5 մ է
15.1 Ուղղանկյան եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը
Սահմանում: Սինուս:
-Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս է կոչվում այդ անկյան դիմացի էջի և ներքնաձիգի հարաբերությունը.
sina = a / c Կոսինուս:
-Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս է կոչվում այդ անկյան կից էջի և ներքնաձիգի հարաբերությունը.
cosa = b / c Տանգենս:
-Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս է կոչվում այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին.
tana = a / b Կոտանգենս:
-Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս է կոչվում այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը դիմացի էջին.
cota = b / a
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե α-ն սուր անկյուն է, ապա sinα-ն ընդդիմադիր կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուզին։ Պատասխան: sinα = ընդդիմադիր / հիպոթենուզ
15.2 Սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները 30, 45 և 60 աստիճան անկյունների համար
Առաջադրանքի օրինակ:
Որքան է sin45°-ը։ Պատասխան: √2/2
16.1 Կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգ
Սահմանում:
-Կոորդինատային համակարգը երկչափ հարթության վրա ուղղանկյուն համակարգ է, որը կազմված է երկու զուգահեռ ուղիղներից՝ x և y առանցքներից, որոնք հատվում են սկզբնակետում։ Կոորդինատները ներկայացնում են կետի դիրքը այս առանցքների նկատմամբ։
📐 Կոորդինատային համակարգ
Առաջադրանքի օրինակ:
Գտեք կետը, որի x=3 և y=4 են։ Պատասխան: (3, 4)
16.2 Հատվածի միջնակետի կոորդինատները
Սահմանում:
Հատվածի միջնակետի կոորդինատը հավասար է հատվածի ծայրակետերի համանուն կոորդինատների կիսագումարին։
📐 Միջնակետ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե A(2, 2) և B(6, 8), ապա M-ի կոորդինատները: Պատասխան: (4, 5)
-Կոորդինատային համակարգը թույլ է տալիս լուծել տարբեր երկրաչափական խնդիրներ՝ օգտագործելով ալգեբրային մեթոդներ։
📐 Կոորդինատային խնդիր
Առաջադրանքի օրինակ:
Գտեք ուղղահայացը x=2 և y=3 կետերի միջև։ Պատասխան: Աղյուսակային ձևով ուղիղ գիծ y = x -1 (օրինակ)
17.1 Վեկտորի հասկացությունը
Սահմանում:
-Հատվածը, որի ծայրակետերից մեկը ընտրված է որպես ակիզբ, իսկ մյուսը՝ որպես վերջ, կոչվում է ուղղորդված հատված կամ վեկտոր:
-Վեկտորը, որի վերջն ու սկիզբը համընկնում են, կոչվում է զրոյական վեկտոր:
-Ոչ զրոյական վեկտորը ունի ուղղություն և երկարություն, որոնք որոշվում են նրա ծայրակետերի դիրքով։
📐 Վեկտոր
Առաջադրանքի օրինակ:
Վեկտորը A-ից B է, եթե A(1,1) և B(4,5), ապա ինչ է դրա ուղղությունը։ Պատասխան: Up-right, ∠ ≈ 53°
17.2 Վեկտորների հավասարությունը
Սահմանում:
-Երկու վեկտոր կոչվում են համագիծ, եթե դրանք միևնույն ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա են, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են տարագիծ։Կհամարենք, որ զրոյական վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի։
-Նույն ուղղի պատկանող AB և CD ոչ զրոյական վեկտորները կոչվում են համուղղված, եթե AB և CD ճառագայթներից մեկը պարունակում է մյուս, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են հակուղղված։
-Զուգահեռ ուղիղներին պատկանող երկու ոչ զրոյական վեկտորները կոչվում են համուղղված, եթե դրանց վերջնակետերը դրանց սկզբնակետերով անցնող ուղղի մի կողմում են, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են հակուղղված։
-Համուղղված և հավասար երկարություն ունեցող վեկտորները կոչվում են հավասար վեկտորներ։
📐 Հավասար վեկտորներ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե երկու վեկտորների վերջավոր կետերի տարբերությունները նույնն են, արդյոք նրանք հավասար են։ Պատասխան: Այո
17.3 Վեկտորի տեղադրումը տրված կետից
📐 Վեկտորի տեղադրում
Թեորեմ:
-Ցանկացած M կետից կարելի է տեղադրել տրված AB վեկտորին հավասար վեկտոր, ընդ որում՝ միայն մեկը։
Առաջադրանքի օրինակ:
Վեկտորը (3,4) է։ Արդյոք այն կարող է սկսվել (2,2) կետից։ Պատասխան: Այո, այն տեղափոխվում է առանց փոփոխության
18.1 Երկու վեկտորների գումարը
Սահմանում:
-Մեկը մյուսի ծայրակետից տեղադրված եերկու վեկտորների գումարը առաջինի սկզբնակետը երկրորդի վերջնակետին միացնող վեկտորն է։
📐 Գումարում
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե այն կողմերը (2,1) և (1,3) են, ապա գումարը ինչ կլինի։ Պատասխան: (3,4)
18.2 Վեկտորների գումարման օրենքները: Զուգահեռագծի և բազմանկյան կանոնները
Թեորեմ:
-Ցանկացած a, b և c վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները.
1. a+b = b + a, 2.(a + b) + c = a + (b + c)
📐 Զուգահեռագծի կանոն
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե A+B = B+A, ապա արդյո՞ք գումարումը փոխարինելի է։ Պատասխան: Այո, դա հանրահաշվի օրենքն է
18.3 Վեկտորների հանումը
Սահմանում:
-a և b վեկտորների տաարբերություն կոչվում է այն c վեկտորը, որի և b վեկտորի գումարը հավասար է a վեկտորին
-a և a1 վեկտորները կոչվում են հակադիր վեկտորները, եթե դրանք հակուղղված են, և դրանց երկարությունները հավասար են։
📐 Հանում
Թեորեմ:
Ցանկացած a և b վեկտորների համար տեղի ունի a - b = a + (-b) հավասարությունը:
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե A=(3,4) և B=(1,2), ապա A-B = ? Պատասխան: (2,2)
19.1 Վեկտորի բազմապատկումը թվով
Սահմանում:
-Ոչ զրոյական a վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն b վեկտորը, որի երկարությունը հավասար է |k| * |a|, ընդ որում a և b վեկտորները համուղղված են, եթե k => 0, և հակուղղված են, եթե k < 0:
📐 Վեկտորի բազմապատկում
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե v=(2,3) և k=2, ապա k·v = ? Պատասխան: (4,6)
19.2 Վեկտորների կիրառությունը խնդիրներ լուծելիս
Վեկտորները օգնում են լուծել խնդիրներ, երբ անհրաժեշտ է շարժում, ուժ կամ տեղաշարժ վերագրել ուղղությամբ։
📐 Վեկտորների կիրառություն
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե ուժը ունի ուղղություն 45° և երկարություն 5, ապա նրա x և y բաղադրիչները համաչափո՞վ են։ Պատասխան: Այո, x = y = 5·√2/2
20.1 Վեկտորի վերածումը՝ ըստ երկու տարրագիծ վեկտորների
Թեորեմ:
-Եթե a և b վեկտորները համագիծ են, և a ≠ 0 ապա գոյություն ունի այնպիսի k թիվ, որ b = k * a։
-Ցանկացած վեկտոր հնարավոր է վերածել ըստ տրված երկու տարագիծ վեկտորների, ընդ որում՝ վերածման գործակիցները որոշվում են միարժեք
📐 Տարրագիծ վեկտորներ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե v = (3,4), ապա ըստ x և y տարրագծերի ինչ է v? Պատասխան: 3 i + 4 j
20.2 Վեկտորի կոորդինատները
Սահմանում:
- Ox և Oy կոորդինատային առանցքներով ուղղված միավոր վեկտորիները կոչվում են կոորդինատային վեկտորներ և համապատասխանաբար նշանակվում են i-ով և j-ով։
-Եթե a = xi + yj, ապա x և y թվերը կոչվում են a վեկտորի կոորդինատներ։
📐 Վեկտորի կոորդինատներ
Թեորեմ:
-Երկու վեկտորների գումարը յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարին. a{x 1 ; y 1} + b{x 2 ; y 2} = c{x 1 + x2, y1 + y2}
-Երկու վեկտորների տարբերությունը յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների տարբերությանը. a{x 1 ; y 1} - b{x 2 ; y 2} = c{x 1 - x2, y1 - y2}
-Վեկտորի և թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատի և այդ թվի արտադրյալին.
k * a{x 1 ; y 1} = b{k * x1, k * y1}:
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե A(1,2) և B(4,6), ապա A→B-ն ինչ կոորդինատներ ունի։ Պատասխան: (3,4)
20.3 Վեկտորի կոորդինատների ու դրա ծայրակետերի կոորդինատների կապը
A(x1, y1) և B(x2, y2) ծայրակետերով AB վեկտորի կոորդինատները հավասար են {x2 - x1, y2 - y1}։
📐 Վեկտորի ծայրակետ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե A(2,3) և B(7,8), ապա A→B վեկտորի կոորդինատները։ Պատասխան: (5,5)
21.1 Հարթության վրա գծի հավասարումը: Ուղղի հավասարումը
Բանաձև: x - x 1 / x 2 - x 1 = k = y - y 1 / y 2 - y 1
📐 Ուղղի հավասարում
Առաջադրանքի օրինակ:
Գտեք որ անցնում է կետով (0,1) և ունի թեքություն 2։ Պատասխան: y = 2x + 1
21.2 Շրջանագծի հավասարումը
Բանաձև:
(x - x 0)² + (y - y 0)² = r²
📐 Շրջանագիծ
Առաջադրանքի օրինակ:
Եթե կենտրոնը (2,3) է, շառավիղը 5 է, ապա շրջանի հավասարումը։ Պատասխան: (x -2)² + (y -3)² = 25